Rekenblog2019-10-28T13:13:55+00:00

Rekenblog

Een glansrol voor de nul

De nul doet veel verschillende dingen en kinderen kunnen er lol in hebben om dat allemaal goed te leren begrijpen. Om te beginnen de bewerkingen:  plus, min en keer nul. Daarin speelt de nul de rol van: niks. Maar dan zijn er ook die twee andere rollen.

Nul als niks

De nul gedraagt zich anders bij optellen en aftrekken, dan bij vermenigvuldigen.

Hoewel, als je het goed snapt gedraagt hij zich helemaal niet zo verschillend. Hij gedraagt zich in deze gevallen consequent als niks. Zeven keer niks blijft natuurlijk niks. Het maakt niet uit hoe vaak je niks krijgt, het blijft niks. Dat is logisch. Logisch is ook dat zeven plus niks zeven blijft, en dat hetzelfde geldt voor zeven min niks.  Er komt niks bij en er gaat niks af.

Zeven blijft zeven.

Dat is één aspect van de nul. De nul als niks.

Nul als positie tussen positief en negatief

Tweede aspect: de nul als positie tussen +1 en -1. Die rol komt later uitgebreid aan bod, bij algebra en statistiek, maar hij ligt al een beetje op de loer als je een getallenlijn bekijkt waar de 0 als startpunt staat aangegeven. Dat gebeurde mij laatst bij een leerling met wie ik de Zareki-test deed. De Zareki-R biedt een serie getallenlijnen aan, met telkens twee benoemde markeringen: 0 en 100. Daartussen zijn vier onbenoemde markeringen aangebracht. De markeringen zijn dwarsstreepjes op de lijn. De leerling moet beslissen welk streepje het beste past bij een opgegeven getal. Als ik zeg: 48, dan moet he dus het streepje kiezen dat het dicht bij het midden staan.

De jongen met wie ik werkte begreep dat prima, hoe hij het liefst een plek aanwees in de buurt van zo’n streepje. Waarom dat zo was bleek toen hij na afloop zei: ik heb een vraag. Is de nul een tiental? Hij dacht dat de streepjes tientallen markeerden en ging dus in het geval van 48 net iets onder het bedoelde streepje zitten. Logisch.

Maar de vraag is interessant. En het antwoord is ja en nee. De nul is nul tientallen; zo kun je hem zien op een lijn met markeringen voor 10, 20, etc.. Maar op een lijn die telt in eenheden is hij nul eenheden. Hij kan ook nul honderdtallen zijn. Hij kan al die functies vervullen. Dit is bepaald niet niks; dit is conceptueel heel groot en belangrijk. Dat kun je zien bij het lezen en schrijven van getallen. De nul kan op elke plek staan, net als de andere cijfers.

Nul erachter is keer tien

Het derde aspect: de nul als teken voor ‘tien keer zo groot’ of ‘tien keer zo klein’.  Dat is een geweldig machtige rol. Pak een cijfer, zet er een nul achter, en je hebt tienmaal zoveel. Het begin al met de 1: met een nul erachter is hij 10. En die vertienvoudiging treedt op bij elk cijfer. Ook in deze rol is de nul dus niet niks. Zeker niet! Eén nul is keer tien, twee nullen zijn keer honderd, drie nullen zijn keer duizend, en ga zo maar door. Een teken van gewicht dus.

Nu kun je zeggen: dit laatste is niet voorbehouden aan de nul. Pak een willekeurig cijfer, zet er een ander cijfer achter en het hebt zelf méér dan tienmaal zo veel. Bijvoorbeeld, neem de 1, plaats er nog een 1 achter, en je hebt elf keer zoveel. Dat is waar, maar deze hele kunst bestaat bij de gratie van de nul. Die geeft aan dat het cijfer waarmee we zijn begonnen een plaats naar links is geschoven. Een decimale plaats naar links. Op de plek waar dat cijfer eerst stond staat nu een 0.

Dit steekt als volgt in elkaar. We hebben eigenlijk maar negen cijfers ter aanduiding van getelde aantallen. Als we ze allemaal hebben gebruikt, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan zijn de cijfers op. Toch willen we verder kunnen tellen. Om nu het volgende getal te maken pakken we opnieuw de 1. Maar dit keer komt hij op een andere plek te staan. Hij schuift een plaats naar links.  Dat zegt: ik ben als 1 nu tien waard. En op de plek van de eenheden zetten we een 0.  Zo kunnen we met eenvoudige middelen doortellen tot in het oneindige. Een chique systeem met een glansrol voor de nul.

 

By |16 maart 2021|

+1 is abstracter dan tellen

Alle plussommen kun je tellend oplossen als je maar genoeg tijd hebt. Tijd, geduld, en geheugenruimte. Want als je tellend optelt moet je twee verschillende tellingen bijhouden. Neem 8 + 7 =. Als je dit tellend oplost moet je niet alleen van 8 tot 15 tellen, maar ook de 7 stappen bijhouden. Anders weet je niet of je al ver genoeg bent met tellen. Als je dat op je vingers kunt doen gaat het nog wel. Maar als je beide tellingen in je hoofd moet doen (plus 1 maakt 9, plus 2 maakt 10, plus 3 maakt 11, plus 4 maakt 12, plus 5 maakt 13, plus 6 maakt 14, plus 7 maakt 15) ben je lang bezig en je weet niet altijd zeker of het klopt.

Het heerlijke van +1 is dat de optelling en de telling één en dezelfde beweging zijn. Een kind dat de telrij kent kan dus in principe ook een +1 som maken. Toch is er wel een verschil. Het plusteken is een symbool dat in de telrij niet voorkomt. Met de som 1 + 1 ga je dus echt een stapje de abstractie in.

Dat je in een meer abstracte wereld bent beland zie je ook doordat je de som x +1 straffeloos kunt omdraaien in 1 + x. Dit besef is voor kinderen een heel belangrijke stap in de beheersing van het rekenen. Als je weet dat 1 + 9 hetzelfde is als 9 + 1 heb je het tellen achter je gelaten.

Hier is een blaadje met wat +1 en 1+ sommen. Om mee te oefenen.

Plussommen die tweelingen zijn.

By |12 februari 2021|

De minregel: 1 – 2 kan niet!

Een plussom kun je omdraaien. Dat is de regel bij het optellen: het maakt niet uit welk getal voorop staat. De uitkomst van 100 + 1 is hetzelfde als de uitkomst van 1 + 100.

Maar bij het aftrekken is dat anders. 100 – 1 is 99. Maar 1 – 100 kan niet. Van 1 kun je geen 100 afhalen. Dan krijg je een negatief getal, en daar zijn we nog helemaal niet mee bezig. In onze normale bovengrondse getallenwereld geldt: bij min moet het grootste getal voorop staan. Dus 2 – 1 kan, maar 1 – 2 KAN NIET.

In mijn minicursus voor de kleine bewerkingen heb ik ook een blaadje opgenomen met minsommen waarover een beslissing genomen moet worden. Kan hij wel, of kan hij niet?  Hier is dat blaadje: De MIN-regel

Aan het eind van die taak vraag ik kinderen om zelf wat sommen verzinnen die wel en niet kunnen. Een van hen schreef: 1000000000 – 10000000000 kan niet! Ik heb de nullen nageteld en het is waar.

By |12 februari 2021|

Rekentaal of mompeltaal

Plus en min

Het is volgens mij beter om plus en min te zeggen dan erbij en eraf. Plus en min is namelijk de standaardtaal, die overal ter wereld wordt gebruikt. Maar er zijn meer voordelen.

Ten eerste zijn de woorden korter. Met een kort woord kan het geheugen beter overweg dan met een lang.

Ten tweede verschillen de woorden plus en min meer van elkaar dan eraf en erbij. Dat gedeelde ‘er’ leidt makkelijker tot verwarring in het geheugen. Het zijn mompelwoordjes.

Er is geen enkele reden om te menen dat kinderen moeite hebben met die officiële aanduiding.

Cijfer en getal

Er is verschil tussen een cijfer en een getal.

Cijfer verwijst naar het teken. Net zoals letter. Getal verwijst naar de bedoelde hoeveelheid.

Honderd is een getal dat uit drie cijfers bestaat.

7 is een hoekig cijfer en een oneven getal.

By |11 februari 2021|
Ga naar de bovenkant